Carrera: Licenciatura en Economía
ÍNDICE DE ACTIVIDAD
ECONÓMICA DE MENDOZA, POR
ANÁLISIS DE COMPONENTES
PRINCIPALES
Trabajo de Investigación
POR
Fernando Deluret
Número de Registro: 26619
E-mail: fernandodeluret@gmail.com
Profesor Tutor
Mónica Calderón
M e n d o z a - a ñ o 2 0 1 9
RESUMEN
El presente trabajo tiene por objetivo la construcción de un Índice de Actividad Económica
(IAEMEN) para la provincia de Mendoza, el cual será de periodicidad mensual. En la actualidad no se ha
publicado para la provincia ningún indicador de actividad económica de periodicidad menor a la anual.
Esta investigación intenta presentar un aporte útil para satisfacer la necesidad de información actualizada
de la situación económica regional. La metodología usada para la construcción del índice es el Análisis de
Componentes Principales a partir de una serie de variables que se consideran representativas de la
actividad económica de Mendoza, las cuales se encuentran disponibles en forma oportuna y tienen una
periodicidad mensual en su publicación. El análisis de componentes principales (ACP) es un método de
reducción de dimensionalidad lineal de los datos. El objetivo es poder reducir el número de variables
necesarias para representar un conjunto de datos. Adicionalmente al objetivo inicial que era la
construcción del índice se agregó, durante el desarrollo del trabajo, la compilación de la teoría del Análisis
de Componentes Principales. Esto debido a que no existía una bibliografía en español que cubriera los
diferentes aspectos del tema integrados. Como resultados del trabajo se logró construir un índice que
captara los patrones de comportamiento particulares de la economía provincial, y se detectó un aparente
rezago entre los movimientos de la economía de Mendoza respecto a la nacional.
Palabras clave: Índice de Actividad Económica de Mendoza, Análisis de Componentes Principales, Análisis
Factorial, EMAE, Producto Bruto Geográfico.
ÍNDICE
Introducción .………………………………………………………………………………………………….……………………........
4
CAPÍTULO I – ÍNDICE DE ACTIVIDAD ECONÓMICA …….………………………………………………………………….
5
1. Concepto …………………………..…..………………………………………………………………….………….
5
2. Estado actual e importancia …..……………………………………………………………….……………
5
3. Metodología ………………….……………………………………………………………………………………..
6
CAPÍTULO II – CONCEPTOS PREVIOS ………………………………………………………………….……………….........
8
4. Vectores y espacios vectoriales ………………………………………………………………….………….
8
5. Ortogonalidad ……………………..……………………………………………………………….……………...
9
6. Proyecciones ortogonales ……………………………………………………………………………………..
9
7. Complemento ortogonal ..…………………………………………………………….……………………….
13
CAPÍTULO III – ANÁLISIS DE COMPONENTES PRINCIPALES ………………………………………………….........
14
CAPÍTULO IV – ANÁLISIS FACTORIAL …………………………………………………………………………………….........
23
CAPÍTULO V – ROTACIÓN DE COMPONENTES ……………………………………………………………………...........
28
CAPÍTULO VI – CONSTRUCCIÓN DEL ÍNDICE ……………………..………………………………………………….........
30
Conclusiones ………………………………………………………………………………………………….……………………........
36
Bibliografía consultada ….……………………………………………………………………………….……………………........
37
INTRODUCCIÓN
En el presente trabajo se avanza en la construcción de un Índice de Actividad Económica (IAEMEN)
para la provincia de Mendoza, el cual será de periodicidad mensual. En la actualidad no se ha publicado
para la provincia ningún indicador de actividad económica de periodicidad menor a la anual; el indicador
existente es el Producto Bruto Geográfico provincial. Esta investigación intenta presentar un aporte útil
para satisfacer la necesidad de información actualizada de la situación económica regional. Para la
construcción del índice se usa el método de Análisis de Componentes Principales a partir de una serie de
variables que se consideran representativas de la actividad económica de Mendoza, las cuales se
encuentran disponibles en forma oportuna y tienen una periodicidad mensual en su publicación. La
metodología usada para comprobar la validez del índice creado será contrastarlo con respecto al EMAE, y
ver si el comportamiento entre ambos se puede transpolar al comportamiento entre PBG y PBI.
El análisis de componentes principales (ACP) es un método de reducción de dimensionalidad lineal
de los datos. El objetivo es poder reducir el número de variables necesarias para representar un conjunto
de datos. Expresado en términos estadísticos, lo que se hace es realizar una proyección ortogonal de los
datos originales en un subespacio vectorial de menor dimensión, y que por ende pueda ser representado
como un conjunto menor de variables, llamadas factores o componentes.
La investigación se estructura de la siguiente manera, en el capítulo I se hace una presentación del
estado actual tanto de la situación de este tipo de estadísticas a nivel provincial y nacional, como así
también de la situación de la herramienta teórica usada que es el Análisis de Componentes Principales
(ACP en sus siglas en español). En el capítulo II se analizan una serie de conceptos previos necesarios tanto
para el desarrollo matemático del ACP, como para su interpretación práctica. En el capítulo III se realiza el
desarrollo algebraico y geométrico, a partir del cual surge la fórmula resultante del ACP. En el capítulo IV
se analiza el tema desde la perspectiva del análisis factorial, propiamente dicho; lo cual permite añadir el
componente fundamental de interpretabilidad de los componentes. En el capítulo V se analiza la rotación
de componentes, que es la herramienta que permite relacionar las variables originales con los
componentes o factores estimados por ACP. Se interpretan estas últimas como variables subyacentes
observadas a través de los datos iniciales. En el capítulo VI se trabaja con el caso numérico, el cual tiene
por objetivo construir un índice de actividad mensual para la provincia de Mendoza. Por último, se analizan
las consecuencias prácticas del ACP y se sacan algunas conclusiones.
CAPÍTULO I
ÍNDICE DE ACTIVIDAD ECONÓMICA
En el presente capítulo se desarrollará el concepto de índice económico, se analizará que
antecedentes hay sobre el tema en el país y se presentará la metodología con la que se construirá el índice.
Esto nos dejará de manifiesto la importancia tanto teórica como práctica que se espera tenga la
investigación.
1. Concepto
Un índice compuesto resume en un único número mensual el comportamiento de un grupo de
series seleccionadas que se mueven sincrónicamente entre ellas y presentan un comportamiento
homogéneo respecto al ciclo económico. En este caso el interés radica en series que se muevan con el
nivel de actividad económica, es decir, series coincidentes con el ciclo económico en Mendoza.
Una característica importante es que los índices no representan los valores totales, sino el
comportamiento. Lo que se busca es que las variaciones producidas en este caso en el nivel de actividad
económica, sean captadas por este indicador.
2. Estado actual e importancia
Actualmente para la provincia de Mendoza el indicador de actividad económica usado es el
Producto Bruto Geográfico (PBG), el cual tiene una periodicidad anual. Adicionalmente, existe una serie
de variables que a priori se podrían imaginar como representativas de la actividad económica, como por
ejemplo el consumo de electricidad, el consumo de gas, el patentamiento de vehículos, etcétera. Las
cuales, si tienen una periodicidad mensual, por lo cual el objetivo es construir a partir de las mismas un
indicador de actividad económica que sea también mensual. A nivel nacional el índice equivalente que
existe es el Estimador Mensual de Actividad Económica (EMAE). El cual en muchos casos es usado como
proxy para la actividad económica provincial por la mencionada falta de disponibilidad de un instrumento
mejor. La desventaja de esto es que se pierden ciertas particularidades del comportamiento económico
que tiene la provincia y no se dan a nivel nacional.
La importancia del índice que se busca construir se desprende de la necesidad de datos
actualizados para la toma de decisiones, y del hecho de que, como se mencionó, actualmente no existe
ningún indicador que tenga una frecuencia de publicación mayor a la anual para la provincia (Producto
Bruto Geográfico). Debido a esto es que se busca que el índice construido tenga tanto una alta
periodicidad, idealmente mensual. Así como que tenga el menor rezago posible en su publicación.
Como antecedente reciente de un trabajo sobre el tema se puede mencionar el trabajo de Heredia
y Álvarez (2017) “Indicador Compuesto de Actividad Económica para la provincia de Misiones”. Otros
antecedentes sobre trabajos anteriores que se refieren a la obtención de indicadores compuestos son la
estimación del indicador a través de modelos uniecuacionales, donde los residuos no explicados de la
primera estimación (por ejemplo, consumos de energía, dan lugar a una nueva ecuación que se estima con
una nueva variable explicativa, por ejemplo, consumo industrial de gas. Los residuos de esta nueva
ecuación dan lugar a una nueva estimación con variables relacionadas y así sucesivamente hasta agotar la
significatividad de los residuos. Otra forma de estimar el indicador compuesto es desarrollar una función
de producción con sus componentes significativos referidos a mano de obra, materias primas, consumos
intermedios y tal vez algún otro integrante significativo, con el objeto de estimar un valor bruto de
producción que represente en forma acabada el indicador que represente la variable solicitada.
3. Metodología
La metodología que se utiliza para la construcción del índice será el Análisis de Componentes
Principales. A partir de una serie de variables que se seleccionarán en función de su disponibilidad. Las
mismas deberán tener una frecuencia de publicación al menos anual, buscándose como ideal que sean
mensuales. Las variables que finalmente se usen deberán ser representativas de la actividad económica y
tener cierto nivel de correlación con el índice construido, sobre estos aspectos se profundizará en el
capítulo VI, donde se realizará la construcción del índice propiamente.
Esta metodología si bien no es reciente tiene un uso poco difundido dentro del ámbito de las
ciencias económicas, por lo que desde ese punto de vista se puede considerar como innovador su uso para
un caso como el presente. Se espera también poner de manifiesto la utilidad que esta técnica puede
aportar. Así como interpretar el comportamiento de los datos de formas que otros tipos de análisis no
permitirían.
El criterio de validación del índice que se construya será justamente contrastarlo contra el EMAE
y ver si la relación de comportamiento entre ambos se mantiene al traspolarlo a la comparación entre PBG
provincial y PBI.
La situación del Análisis de componentes principales como herramienta teórica merece especial
atención ya que influirá notoriamente en el desarrollo del presente trabajo. Esto se debe a que
actualmente no existe una fuente en español que realice una explicación integral del tema. Sino que está
tratado por partes, de acuerdo a la aplicación a la que esté dirigido. Por esto un objetivo muy importante
en el presente trabajo será también presentar una integración teórica del tema, que tenga en cuenta los
puntos de vista geométrico, matemático y conceptual. Así como también presentar todo esto siguiendo
una sola línea lógica y manteniendo una notación unificada a lo largo del desarrollo que permita entender
en mayor profundidad el tema, para a posteriori sacar conclusiones más interesantes a la hora de su
aplicación.
En el capítulo se trató el concepto de índice económico los antecedentes en el tema a en el país y
se presentó la metodología de ACP con la que se construirá el índice.
CAPÍTULO II
CONCEPTOS PREVIOS
En el presente capítulo se desarrollarán algunos conceptos teóricos claves para entender el
desarrollo del ACP. Como la definición de vector y espacio vectorial, sus propiedades y operaciones, las
bases de un espacio vectorial. También se desarrollará el concepto de proyección ortogonal que es el
concepto central sobre el que se basa el ACP.
1. Vectores y espacios vectoriales
En el presente apartado se trabajará en
y dados 2 vectores
y
como se muestra en el
Gráfico 1, podemos definir el módulo de un vector, la distancia entre vectores y el ángulo entre vectores
de la siguiente manera:
Gráfico 1: Distancia entre vectores
Podemos definir el producto punto entre 2
vectores como:
El módulo de
será
y esto
es igual al segmento
.
La distancia entre
será el modulo del
vector diferencia entre ambos
lo
cual va a ser igual al segmento
.
El ángulo entre estos 2 vectores va a ser tal
que:
Un espacio vectorial es un conjunto de vectores que cumplen las siguientes propiedades:
Son cerrados respecto de una operación (por ejemplo la suma): si
Asociatividad:
Elemento neutral (e):
Elemento inverso:
Multiplicación por un escalar:
Un subespacio vectorial es entonces un subconjunto de ese espacio tal que si se aplica cualquiera
de las operaciones arriba mencionadas entre vectores del subespacio el vector resultante seguirá
perteneciendo al mismo. Una consecuencia de esto es que el subespacio debe tener si o si el elemento
neutro, por ejemplo, las rectas que pueden ser subespacio de
deben pasar si o si por el origen de
coordenadas.
Dado un espacio vectorial V, un conjunto generador para este espacio es un conjunto de vectores
que combinados linealmente permiten construir cualquier vector de dicho espacio. Si adicionalmente el
conjunto generador cumple las siguientes propiedades se dice que este conjunto es una base de ese
espacio vectorial y a cada uno de los vectores de la base se le llama vector base:
Mínimo:
, será mínimo si no existe otro conjunto generador con
menos de k vectores.
Los vectores de A deben ser linealmente independientes
Una propiedad de una base es que 2 combinaciones lineales diferentes de sus vectores base darán
como resultado 2 vectores diferentes entre sí siempre.
Una base estándar de un espacio
, es una base tal que la matriz formada por sus vectores base
es la matriz identidad de dimensión . Por ejemplo, la base estándar para
es:
Puede haber otras bases que no sean la estándar para un espacio vectorial, pero todas van a tener
la misma cantidad de vectores.
2. Ortogonalidad
Se dice que dos vectores son ortogonales entre sí, si el ángulo que forman es de 90°. Por lo que,
dada la fórmula del ángulo entre vectores:
Para que esto se cumpla el producto punto entre ambos vectores debe ser igual a cero. Una forma
de interpretar la ortogonalidad es que dos vectores ortogonales son “lo más diferentes posible” entre sí.
Si los vectores de una base son ortogonales entre si
y todos tienen módulo
igual a 1
entonces la base es ortonormal.
3. Proyecciones ortogonales
Dado el subespacio vectorial
y el vector
, el cual puede ser representado como
una combinación lineal de los vectores base de
. Supongamos que queremos representar en el
subespacio U, vamos a querer que el nuevo vector sea lo más parecido al vector original. Lo cual
es equivalente a minimizar el segmento que representa el vector diferencia , el cual en el Gráfico
2 está representado por las distintas líneas punteadas para cada caso.
Siendo
una base del subespacio U, el nuevo vector va a poder ser expresado
como una combinación lineal de dicha base
, donde es un escalar y representa las
coordenadas de en U.
La pendiente de U nos la va a dar la relación entre las componentes
del vector base
.
Gráfico 2: Proyección ortogonal de un vector
Como se puede observar en el grafico anterior de acuerdo al que se elija va a ser el largo del
vector resultante. Y por ende, el largo del vector diferencia va a depender también de .
Existirá un
que minimice esa distancia, el cual va a ser tal que haga que el vector diferencia y el vector
base
sean ortogonales (
). Esto como se vio en el apartado anterior es equivalente a decir que
el producto punto entre ambos vectores es igual a cero, matemáticamente se puede expresar:
Por propiedad de bilineariedad del producto punto
Dado que
es un escalar, podemos
moverlo al final de la multiplicación
Usando la definición de w’
La matriz de proyección es aquella matriz (en este caso ) que multiplicada por el vector
original w nos da la proyección de este en el subespacio U (w’). Si
es ortonormal (
) la matriz
de proyección va a ser simétrica:
Se puede ver entonces, que antes para representar al vector w necesitábamos dos coordenadas
(
) y ahora necesitamos una sola ().
Algo importante a destacar en este tema es que el nuevo vector w’ va a seguir perteneciendo a
, a pesar de que ahora solo dependa de un parámetro (). Esto es debido a que el vector base de U (
)
tiene dos componentes y por ende w’ también. Por este motivo no sería lo mismo por más que se haga
una proyección sobre una recta partir desde
, que por ejemplo desde
, en cuyo caso
tendría tres
componentes. Una forma de ver esto es que
está dando información de acuerdo a los grados de libertad
de rotación del espacio vectorial inicial, por ejemplo en
la recta U solo puede rotar a lo largo del plano
XY en tanto que en
la recta podría rotar respecto al plano respecto a XY, YZ y XZ.
Se supone ahora que
es decir
y
, pero ahora en vez de ser
una recta (dimensión igual a 1) es un subespacio M-dimensional, con . Es decir, tiene M vectores
base
donde a su vez cada
tiene dimensión ya que U es un subespacio de
.
Para aclarar esto último, la cantidad de vectores base
que tenga U indica si el o los vectores que
se proyecten lo harán sobre una recta, un plano etcétera. En tanto que “D” lo que indica es que esa recta
o plano debe dibujarse en el espacio D-dimensional. Por ejemplo
genera una recta en
en tanto
que el conjunto
genera un plano en
, luego sobre ese plano o recta es sobre el que se
proyectara el vector original.
En este caso multidimensional
notado matricialmente
, donde B es la
matriz que representa el conjunto de los vectores base de U (con dimensión ) y es el vector
con las M coordenadas.
La condición impuesta en el caso inicial para que la proyección fuera ortogonal es que el vector
diferencia fuera ortogonal con el vector base del nuevo subespacio. Por ende lo que se va a exigir ahora
es que sea ortogonal con cada uno de los M vectores base. Para verlo con un ejemplo, supóngase
el caso en que se quiere proyectar un vector de
en el plano XY (es decir componente z=0) el cual se va
a suponer horizontal como se ilustra en el gráfico 3, en tanto que la componente Z daría la altura. La forma
de que el vector diferencia sea lo más pequeño posible seria bajando verticalmente, es decir en forma
perpendicular al plano XY, con lo cual el vector diferencia va a ser ortogonal a todos los vectores de XY
incluidos ambos vectores base.
Gráfico 3: Ortogonalidad de los vectores base
Es decir, ahora hay un sistema de M ecuaciones simultáneas. Notado matricialmente:
Donde ahora w’ y son las fórmulas para calcular la proyección pero para el caso general de D
dimensiones y llevar al vector a un subespacio con solo M coordenadas (). Una vez más w’ seguirá
siendo un vector .
4. Complemento ortogonal
Dado un espacio vectorial
y un subespacio
(siendo n y k las dimensiones de
los espacios). Entonces el complemento ortogonal de W es un subespacio
de dimensión (n-k), tal que
contiene todos los vectores de V que sean ortogonales a todos los vectores de W.
Cada vector se puede descomponer ortogonalmente (de forma única) de la siguiente forma:
Donde
y
son los vectores base de los subespacios W y
respectivamente. Lo único que
se está diciendo es que cualquier vector se puede expresar como una suma de un vector de W más un
vector de
. Por ejemplo, supongamos que W y
son 2 rectas pertenecientes a
perpendiculares
entre sí, cualquier vector de
puede ser expresado como una suma de vectores como en el Gráfico 4.
Gráfico 4: Complemento ortogonal de un vector
Hasta aquí se analizado los conceptos geométricos y matemáticos necesarios para entender el
desarrollo del análisis de componentes principales. En el próximo capítulo se iniciará el desarrollo de dicho
tema en el que se aplicarán estos conceptos.
CAPÍTULO III
ANÁLISIS DE COMPONENTES PRINCIPALES
En el presente capítulo se realizará el desarrollo del ACP analizando sus aspectos gráfico,
matemático y geométrico. A partir de esto se expondrán algunas conclusiones teóricas que serán usadas
en la construcción del índice y que tendrán una influencia práctica en el mismo.
Dado un conjunto de datos de D variables y N observaciones de cada variable, los datos pueden
ser representados como un conjunto de N vectores pertenecientes a
:
Donde cada
está formado por una observación de cada una de las D variables iniciales. El análisis
de componentes principales busca encontrar una representación con una dimensión menor. Pero que sea
lo más parecida posible a X. Para lograr esto lo que se hace es realizar una proyección ortogonal de los
datos, ya que esto minimiza el vector diferencia con respecto a los datos originales.
Para ver esto con un ejemplo, se supone que como muestra el gráfico 5 existen dos variables
iniciales (D=2)
. Se puede representar gráficamente el par de datos como un vector en
, entonces
habrá tantos vectores como cantidad de observaciones haya en las series de datos. El objetivo será
entonces encontrar una representación de menor dimensionalidad de este conjunto de datos, en este
caso la única dimensionalidad menor a dos es uno, o sea que el objetivo sería ajustar esa serie de vectores
a una recta. Existirán entonces dos incógnitas a resolver. La primera de las incógnitas será cómo
representar cada uno de los vectores iniciales de tal forma que haya el menor error posible. La segunda
será cómo elegir la pendiente de esa recta de tal forma que se minimice el conjunto de los errores. Es
decir, minimizar la suma de los segmentos punteados del gráfico 5. Ahora bien, recordando lo visto en
proyecciones ortogonales eso da respuesta a la primera de las incógnitas, la forma de representar a cada
vector dentro del subespacio U es proyectarlo ortogonalmente, ya que de esta manera se asegura que se
minimiza el error de proyección. Queda entonces por resolver el problema de encontrar la pendiente de
la recta U
1
.
1
Una acotación metodológica a hacer en este punto, es que, si bien se habla de la recta U, esta es en realidad un
subespacio vectorial. Por lo que no puede ser cualquier recta, debe pasar por el origen de coordenadas. La
consecuencia práctica de esto es que a la hora de trabajar con ACP los datos deben tener media igual a cero.
Gráfico 5: Caso de dos variables iniciales y un factor
De acuerdo a lo visto en el capítulo anterior, cada uno de los vectores
puede ser representado
como una combinación lineal de los vectores base de
:
Donde
es cada uno de los vectores base y
es un escalar que representa la coordenada
correspondiente al vector
. Cada
va a tener dimensión D1, ya que es un vector base de
.
Supondremos para trabajar con ACP que las bases van a ser ortonormales, es decir que
.
La ecuación (2) surge de la deducción de proyección ortogonal para las coordenadas, donde
por ser las bases usadas para ACP ortonormales.
puede ser visto como la proyección
ortogonal de
en el subespacio unidimensional generado por
(es la proyección sobre esa recta o eje).
Una aclaración a hacer aquí es que la dimensión inicial de los datos es D (se necesitan D coordenadas para
representarlos), y lo que se busca es reducir esa dimensión a M minimizando el error en el proceso. La
ecuación (2) muestra cuál va a ser la magnitud de una de esas M coordenadas, más específicamente la
coordenada sobre el subespacio unidimensional generado por el vector
.
Para el ACP se han hecho dos supuestos importantes, uno es que los datos deben tener media
cero y el otro es que las bases van a ser ortonormales. A continuación, se profundizará un poco en este
último supuesto.
El hecho que las bases sean ortonormales significa dos cosas, una ya vista es que la norma de cada
vector base es 1 (
), la otra es que los vectores base van a ser ortogonales entre sí, es decir, su
producto punto va a ser igual a cero (
). Gráficamente esto último significa que
los vectores base, que pueden ser vistos como los nuevos ejes de referencia para los datos transformados
(ya que es respecto de quienes están dadas las coordenadas) serán perpendiculares entre sí.
Con esto en mente se retoma la fórmula obtenida para proyecciones ortogonales M-
dimensionales:
Donde
es la proyección ortogonal del vector
en el subespacio M-dimensional y B es la matriz
formada por el conjunto de los M vectores base de dicho subespacio
donde cada
tiene dimensión . Analizando la matriz resultante de
tendremos que:
Dado que por ser bases ortonormales
, entonces el
resultado es la matriz identidad . Por lo que se puede reescribir
de la siguiente manera:
Se puede expresar el problema de reducir la dimensionalidad de la siguiente manera, de acuerdo
a lo visto en complemento ortogonal de un subespacio vectorial:
Donde el primer término es el subespacio sobre el que vamos a proyectar los datos y el segundo
término (que representa un subespacio
dimensional que es el complemento ortogonal del
subespacio principal) para nuestra proyección es cero ya que haremos la proyección en el subespacio
principal.
Se puede definir una función que represente el error de hacer la proyección ortogonal de los
datos, que como ya se dijo, puede verse como la sumatoria de los vectores diferencia (representados en
el gráfico 5 por las líneas punteadas).
Lo que se busca aquí es encontrar un subespacio tal que minimice esta función de error. Ahora
bien,
va a depender de los valores que tomen
y
entonces:
Donde el segundo término sale de derivar (3) respecto a
suponiendo M=1, es decir para la
proyección unidimensional sobre el subespacio generado por el vector
. En el segundo paso lo que se
hace es usar (3) donde
es la proyección de
en el subespacio principal, por eso la sumatoria solo llega
hasta M. En la cuarta línea se simplificó la sumatoria ya que el producto punto resultante va a ser cero
para todos los términos donde por la propiedad vista de bases ortonormales, y también por esto es
que se puede decir que
=1.
La expresión a la que se llega coincide con la ecuación (2) que era la obtenida para proyecciones
ortogonales. Entonces, lo que se está diciendo aquí es simplemente que las coordenadas
que
minimizan el error J son las que proyectan ortogonalmente el vector
en el eje generado por
.
Visto en términos del gráfico 5, se busca la pendiente de la recta U. Para simplificar la resolución
matemática primero re se re expresará la función J para dejarla en función de
. Se parte de la definición
de
en (3) y se reemplaza
de acuerdo a (2) podemos expresar:
(1°)
(2°)
(3°)
(4°)
(5°)
A partir de esta última expresión obtenida, y expresando
de la ecuación (1) como la suma del
subespacio principal más el complemento ortogonal:
Se puede entonces, re escribir el vector diferencia como:
Se reemplaza esto en la función J usando el hecho de que el producto punto
se
puede expresar vectorialmente de cualquiera de esas dos formas:
A continuación, se explica brevemente el proceso matemático precedente. En la segunda línea se
saca la sumatoria fuera de la norma. Ya que va a ser lo mismo sacar la suma de los vectores y sacarle la
norma que sacar la norma de todos los vectores y sumar dichas normas. También se hizo uso de que la
norma de cada vector base es igual a 1 por bases ortonormales. En la tercera línea se usó la definición de
norma para expresarla como producto punto. En la cuarta línea se saca “afuera” la sumatoria que depende
de i y quedan dentro de la sumatoria con subíndice j solo los términos que dependen de j.
(1°)
(2°)
(3°)
(4°)
Si se observa la matriz S, se puede ver que va a ser la suma de N matrices . Por lo que cada
elemento de la matriz resultante va a ser la suma de ese elemento de cada una de las N matrices de la
sumatoria. Adicionalmente se debe multiplicar cada uno de esos elementos de la matriz por
. Se puede
ver entonces, que ya que los datos tienen media igual a cero, esta matriz es la matriz de varianzas y
covarianzas ( ) de las D variables iniciales. Si los datos estuvieran estandarizados (adicionalmente
estuvieran divididos por su desviación estándar) la matriz obtenida aquí, sería la matriz de correlaciones.
Para el caso en el que hay dos variables iniciales y se quiere reducir los datos a una sola
componente principal (
). Si se plantea un lagrangiano para obtener la condición de minimización
a partir de la fórmula obtenida en (4), y se tiene en cuenta la restricción de bases ortonormales quedará
entonces:
Donde en la cuarta línea se usó la regla de derivada multivariante para derivar respecto a
. En la
sexta línea por ser S una matriz simétrica puede conmutar de esa forma la multiplicación. En tanto que en
la última línea solo reemplaza el resultado anterior en la función J.
Si se observa la expresión (5), se puede ver que la forma funcional es la misma que la de un
problema de eigen valores y eigen vectores
2
. Para recordar, dada una matriz A ( ), será eigenvector
de A si se cumple que:
Donde es un escalar y es el eigenvalor de la matriz A correspondiente a ese eigenvector. Para
minimizar entonces J lo que se debe hacer es buscar los eigen vectores de la matriz S y elegir como
subespacio principal el eigen vector que tenga el . De esta manera su complemento ortogonal que será
el omitido tendrá el de menor valor.
2
Al hablar de eigen valores y eigen vectores, se habla de valores propios y vectores propios respectivamente. Esta
forma de llamarlos será la usada en el resto del trabajo.
(1°)
(2°)
(3°)
(4°)
(5°)
(6°)
(7°)
Notar que los eigen vectores serán los vectores base, por lo cual por bases ortonormales serán
ortogonales entre sí, y el eigen vector con el eigen valor más alto es un vector que apunta en la dirección
en la que los datos tienen más variación (y el eigen valor va a ser el valor de esa variación).
Si se amplía esta lógica para el caso D-dimensional se tendrá que:
Es decir, se minimiza J eligiendo los D-M eigen valores de menor valor y, por lo tanto, proyectando
los datos en el subespacio formado por los vectores correspondientes a los M eigen valores mayores.
Algo a remarcar en este punto, es el hecho de que habrán D eigen valores (ya que la dimensión de
la matriz S es DxD), de los cuales se elegirán los M mayores y se descartarán los D-M con el menor valor.
Si se analizan los resultados obtenidos al proyectar los vectores ortogonalmente sobre el
subespacio principal
. Notando esto matricialmente para el caso de N vectores (recordar que
se tendrá N vectores porque hay N observaciones) se obtiene lo siguiente:
Cada una de las N observaciones de la nueva variable
va a ser una combinación lineal de las D
variables iniciales, combinada usando como coeficientes los valores del eigen vector
. Cada columna de
la matriz Z va a ser una de las nuevas M variables, que no es ni más ni menos que una de las M coordenadas
vistas desde el punto de vista geométrico de las proyecciones ortogonales.
Si se analizan los resultados obtenidos para proyecciones ortogonales M-dimensionales, se puede
observar que
. La única aclaración metodológica que corresponde hacer es que aquí cada uno de
los N vectores está expresado horizontalmente como una de las filas de la matriz
, es decir que cada fila
podría ser expresada de acuerdo a la ecuación de proyecciones ortogonales de la siguiente manera
. Se expresa esto matricialmente para el caso de N vectores:
Está expresión significa que se pueden “reconstruir” los datos originales usando la matriz B como
decodificador, la pérdida de información será la que produzca al omitir el subespacio D-M dimensional
complementario al subespacio principal.
A partir de la expresión
y se calcula la esperanza y la varianza de la nueva variable:
Donde en la primera ecuación se usó el hecho de que los datos iniciales deben estar centrados
respecto a su media.
Si se observa la expresión obtenida para la varianza de
se puede ver que es igual a la obtenida
cuando se buscaba cada una de las D-M dimensiones omitidas, comparando ambos resultados se tiene
que:
Interpretando esta última expresión se puede decir que se busca retener la mayor cantidad de
varianza posible, o que se van a elegir los M componentes principales con mayor varianza. Esto es porque
es la proyección ortogonal de los datos sobre el eje generado por el vector
, y este eje es elegido de
tal forma de maximizar la varianza de los datos sobre él. Este enfoque permite compatibilizar la idea de
que al retener la mayor cantidad de varianza posible se está manteniendo la mayor cantidad de
información, y es porque al mantener la mayor cantidad de varianza se está minimizando el error de
proyección de los datos en sobre ese subespacio o eje.
Una medida de la variabilidad original de los datos podría ser la suma de las D varianzas de las
variables originales X. Por teoría de diagonalización
3
se puede decir que:
Por otra parte, la traza de S (la suma de todos los elementos de su diagonal principal) va a ser la
suma de las D varianzas iniciales, que es como se dijo la variabilidad total de los datos iniciales.
Adicionalmente si las variables iniciales están estandarizadas esta varianza total será igual a D (cada una
de las D variables iniciales tiene var=1). Se tiene entonces aquí una relación importante entre la varianza
original y la varianza retenida después del ACP. Por ejemplo, si se retuvieran todas las componentes
principales (M=D) no habría perdida de varianza, lo que puede ser visto como que no habría perdida alguna
de información.
3
Cuya demostración escapa al alcance de este trabajo.
Se puede decir que la proporción o porcentaje de variabilidad que explica cada componente va a
ser:
Algo que hasta acá se ha dado por sentado es M, es decir la cantidad de componentes que se van
a retener. Si bien hay distintos criterios de decisión uno de los más usados es retener todas las
componentes cuya varianza sea mayor a 1 (
). Es decir, que sea mayor a la varianza de cualquiera de
las variables iniciales (todas igual a 1). La interpretación conceptual de esto es que la nueva componente
va a ser “mejor” que cualquiera de las variables iniciales por si sola ya que va a contener más información.
Aquí finaliza el desarrollo del modelo ACP estrictamente hablando. En el siguiente capítulo se
analizará el tema desde la perspectiva del análisis factorial, que va a permitir incorporar como elemento
de análisis, la interpretabilidad de los componentes o nuevas variables obtenidas.
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS FACTORIAL
En el presente capítulo se estudiará en enfoque del análisis factorial, que se complementa con el
ACP. Agrando al mismo la importancia de la interpretación de los factores obtenidos e intentando por lo
tanto facilitar la misma.
El análisis factorial da un enfoque diferente del problema de reducción de dimensionalidad. El
planteo del que se parte es el siguiente, dado un conjunto de D variables iniciales existen un conjunto M
de variables subyacentes o factores que no son observables directamente sino a través de combinaciones
de las variables iniciales. Lo que se busca es representar los datos originales con este conjunto de factores,
teniendo la menor pérdida de información posible. Al igual que en el análisis de componentes principales
lo que se busca es que los factores sean obtenidos de tal forma de que no estén correlacionados entre sí.
Esto agrega dos elementos de juicio al análisis realizado hasta acá, uno es el principio de parsimonia, por
el cual se busca que la cantidad de factores sea lo menor posible. El otro elemento es el principio de
interpretabilidad, el cual busca que los factores obtenidos puedan ser interpretables.
Para aclarar esto obsérvese el siguiente ejemplo, se quiere analizar la importancia que los
consumidores dan a 14 variables que se consideran relevantes para la compra de un automóvil. Estas
variables son: reparaciones baratas (RB), amplia gama de colores (GC), interior espacioso (IE), bajo
consumo de gasolina (BC), manejabilidad (MA), aspecto moderno (AM), valor de recompra alto (RA),
confortable (CO), motor potente (MP), aspecto elegante (AE), cómodo de conducir (CC), atractivo de línea
(AL), maletero amplio (MA) y fácil de aparcar (FA). Se observa que las 14 variables pueden caracterizarse
por cuatro dimensiones subyacentes relacionadas respectivamente con el confort (factor I), con el coste-
eficiencia (factor II), con la elegancia (factor III) y con el manejo fácil (factor IV) y no observables
directamente. Por lo tanto, en vez de considerar las 14 variables, se simplifican las cosas, de forma que
sólo cuatro factores deban considerarse para caracterizar la estructura subyacente de los datos. En el
gráfico 6 se puede ver este análisis.
Gráfico 6: Ejemplo de variables subyacentes
A continuación, se plantea matemáticamente el modelo factorial:
Se supone a los factores comunes
como variables estandarizadas (media cero y
varianza unitaria) y que además no están correlacionadas entre sí. Se supone también que la matriz de
covarianzas de los factores específicos es una matriz diagonal (factores únicos incorrelacionados entre sí)
y tienen media igual a cero (
)
Dado que las variables X son variables tipificadas, su matriz de covarianzas es igual a la matriz de
correlación poblacional S, matriz que puede descomponerse de la siguiente forma:
Expresando esto matricialmente se obtiene:
Si se analiza el resultado para el primer elemento de S (que es la varianza de
) se tiene que:
Donde
es el porcentaje de varianza de la variable
explicado por los factores comunes, y se
llama comunalidad y
es la parte de la varianza de
que la explica su factor especifico y se la llama
especificidad.
Ahora bien, cómo se relaciona este análisis de factores con el análisis de componentes principales.
Se parte de la solución expresada matricialmente a la que se llega en el ACP. Es importante prestar
atención al cambio en la notación, ya que hasta aquí se usó notación matricial donde cada elemento era
una de las N observaciones, la transformación que se hace aquí es pasar a expresarlo vectorialmente,
donde cada variable
y
es un vector Nx1 que contiene todas las observaciones. Si se tiene esto en
cuenta se puede re expresar la solución obtenida como:
Ahora bien, también se había llegado a la conclusión de que
, lo cual notado
vectorialmente quedaría:
Como se vio en el capítulo anterior la diferencia entre
y
es la pérdida de información que
existe por la reducción de dimensionalidad, si se supone entonces que se realiza el ACP sin reducir
dimensionalidad (M=D), es decir conservando los D componentes principales. Este sistema de ecuaciones
quedaría de la siguiente forma:
Pero el análisis factorial exige que los factores estén estandarizados, entonces estandarizando las
variables (teniendo en cuenta los resultados obtenidos anteriormente
) y
llamando
a las variables estandarizadas quedará:
El cual puede ser re expresado como:
Si se re expresa cada
para cada una de las D ecuaciones:
Si se compara este resultado con el sistema de ecuaciones planteado al inicio del análisis factorial:
Donde cada
Se puede ver entonces que estandarizando cada uno de los componentes principales obtenidos
del ACP se puede interpretar los resultados del mismo como un análisis factorial, obteniendo así la ventaja
de que los factores resultantes puedan tener una interpretación a partir de la rotación de las componentes,
lo cual se analizará en la siguiente sección.
Para finalizar esta sección se demostrará cómo cada uno de los
puede ser interpretado como
la correlación entre la variable inicial “j” y la componente “i”. Si se nota vectorialmente
y
como los
vectores con las N observaciones para la variable “j” y la componente “i” respectivamente se puede
calcular su covarianza como :
Si se agrega un vector de dimensión que tenga 0 en todas las posiciones y 1 en la posición
“j” se puede notar a
como:
Donde
es la matriz de datos iniciales traspuesta. Adicionalmente dado que
:
Donde se hace uso de la expresión obtenida para la matriz de correlaciones S y de la definición de
coeficiente de correlación para 2 variables. De esta forma se llega a la demostración de que cada uno de
los coeficientes
representa la correlación entre la variable inicial “j” y la componente “i”.
La matriz formada por todos los coeficientes
es entonces la matriz de cargas factoriales que
contiene cada una de las correlaciones entre los factores retenidos y las variables iniciales.
A modo de resumen, los conceptos vistos en este capítulo incluyeron el desarrollo intuitivo y
estadístico del análisis factorial, su relación con el ACP, y la unificación de ambos en cuanto a la notación
matemática. Por último, se analizó la correlación entre factores y variables, y la matriz de cargas factoriales
que incluye todas las combinaciones de estas correlaciones.
CAPÍTULO V
ROTACIÓN DE COMPONENTES
En el presente capítulo se desarrollará el concepto de rotación de componentes y la forma de
aplicarlo para permitir que los factores obtenidos del análisis factorial puedan ser interpretados con mayor
facilidad.
En el proceso de rotación de componentes lo que se hace gráficamente es girar la dirección de
estos nuevos ejes de referencia que van a definir el subespacio sobre el que se proyectarán los datos.
Existen 2 tipos de rotaciones, las rotaciones ortogonales que mantienen los ejes perpendiculares, con lo
cual las componentes resultantes seguirán teniendo la característica de no estar correlacionadas entre sí.
El segundo tipo de rotaciones son las rotaciones oblicuas las cuales sacrifican un poco de esa
independencia con el objetivo de obtener una mayor interpretabilidad de las componentes. A su vez
dentro de cada tipo hay varios métodos que se pueden usar. En este apartado se profundizará en la
rotación Varimax, que es una rotación ortogonal y es la de uso más extendido.
Lo que se busca con la rotación de componentes es que cada una de las variables tenga una
correlación máxima con uno de los factores (es decir, uno) y cero con el resto de los factores o
componentes. De tal forma que esto facilite la tarea de asociar a cada factor como esa “variable
subyacente” representada por un grupo de las variables iniciales.
Se supone que existe un conjunto de datos en
(es decir tres variables iniciales) que se podrían
agrupar dentro de un determinado elipsoide, y que se van a representar estos datos en un plano
(es
decir dos componentes). La metodología hasta aquí usada por el ACP es ir eligiendo iterativamente como
ejes de cada componente el eje sobre el que el conjunto de datos tenga mayor varianza. En este caso como
se va a tener los datos representados en un plano, los nuevos dos ejes serán los dos ejes sobre los que los
datos tengan máxima varianza. Los cuales van a coincidir con los dos ejes más grandes de este elipsoide
imaginario. Lo que se hace al rotar los componentes es rotar estos dos ejes (manteniéndolos
perpendiculares entre sí) sin variar el plano que generan. La consecuencia de esto es que todos los puntos
originales se van a seguir representando sobre el mismo plano, pero respecto a unos ejes diferentes. Es
decir, solo van a cambiar sus coordenadas. Esto permite que al rotar los componentes no se pierda nada
del total de varianza explicada por los componentes en su conjunto. Metodológicamente lo que sucede
es que la información perdida por la primera componente
4
va a ser recogida por la segunda. Se puede
4
Ya no está en la dirección en la que los datos tienen máxima varianza, por lo tanto, va a disminuir ese nivel de
varianza captada.
generalizar esto diciendo que la información perdida por las primeras K componentes va a ser recogida
por las ultimas M-K componentes.
Matemáticamente la rotación Varimax lo que hace es calcular una variable que llama simplicidad
(
), que es la varianza de los cuadrados de las cargas factoriales (
) para un determinado factor (i).
Adicionalmente lo que se hace comúnmente es aplicar lo que se llama la Normalización de Kaiser, donde
cada
se divide por la comunalidad de la variable inicial “j” (
). Esto se hace para evitar que las con
mayor comunalidad tengan más influencia (más peso) en la solución final. Una vez calculada esta
simplicidad normalizada para cada uno de los factores lo que se hace es maximizar la sumatoria de todas
estas simplicidades (
). Matemáticamente la expresión que se maximiza es:
Dos notas interesantes de casos extremos que se pueden hacer sobre este tema es que, si no se
reduce la cantidad de variables (M=D) se pueden rotar los ejes como se quiera sin perder información,
solo cambian las coordenadas (coeficientes). La otra es que, justamente por la forma iterativa en que se
realiza, si solo existiera un componente no se podría realizar ninguna rotación, como mínimo se deben
tener dos.
Con la rotación de componentes ya se han desarrollado todos los elementos teóricos sobre el tema
necesarios para el desarrollo del índice de actividad económica mensual para la provincia de Mendoza. El
mismo se realizará en el siguiente capítulo.
CAPÍTULO VI
CONSTRUCCIÓN DEL ÍNDICE
En este capítulo se desarrollará el índice de actividad económica para la provincia de Mendoza
usando el Análisis por Componentes Principales (ACP), a partir de una serie de variables iniciales (las cuales
se detallan en la tabla 1). Las cuales se consideran representativas para la actividad económica de Mendoza
se intentará obtener una cantidad reducida de componentes que las representen y a partir de los cuales
se pueda construir un índice de actividad económica para la provincia. Las series usadas se obtuvieron de
la Dirección de Estadísticas e Investigaciones Económicas (DEIE) de la provincia de Mendoza. En tanto que
las series para la validación del índice (EMAE, PBG, PBI) se obtuvieron del Instituto Nacional de Estadística
y Censos (INDEC) de la Nación
La utilidad práctica que se busca con este caso es que, dado que las variables usadas están
disponibles con periodicidad mensual el índice resultante también lo será, con lo cual podría servir como
un estimador de la actividad económica de la provincia, que hoy solo existe anualmente.
Tabla 1: Presentación de las series de datos usadas
Variable
Descripción
AUTOMOTRIZ
Ventas Mensuales de Automotores Cero Km por Segmento. Mendoza. Enero 2010 -
Noviembre 2018
EELECTRESIDENCIAL
Consumo de Energía Eléctrica Residencial en MWh. Años 2004 - 2019
EELECTCOMERCIAL
Consumo de Energía Eléctrica General/Comercial en MWh. Años 2004 - 2019
EELECTINDUSTRIAL
Consumo de Energía Eléctrica Grandes Demandas/Industrial en MWh. Años 2004 -
2019
ENARGAS TOTAL
SISTEMA
Total - En miles de m
3
de 9300 kcal y en porcentaje. Años 2004-2018
HOTELMDZ
Demanda hotelera por mes y condición de residencia de los viajeros hospedados.
Ciudad de Mendoza. Años 2008-2018
INDUSTRIA
Índice de ventas industriales a valores constantes y variación porcentual.
INMUEBLES
Total de inmuebles involucrados en operaciones en el Registro Público de la
Propiedad, a través de escrituras públicas (corresponden a la 1ª,3ª y 4ª
Circunscripción Judicial) y variación porcentual. Mendoza. Enero 2006-Noviembre
2018
PATVEHI
Patentamiento de Vehículos (Autos, Motos y Maquinarias Agrícolas)
SHOPPING
Índice mensual de ventas de mercaderías y servicios en centros de compras a valores
corrientes. Año base 2010. Mendoza. Enero 2010-Noviembre 2018
SUPERMERCADOS
Ventas a precios constantes por grupo de artículos, en pesos de 2004. Mendoza.
Años 2010-2018
VINO
Despachos de vinos autorizados para ser liberados al consumo. Mendoza. Años 2004
- 2017
Fuente: Dirección de Estadísticas e Investigaciones Económicas (DEIE) de la provincia de Mendoza
Inicialmente se realizó un ACP sobre este conjunto de variables con el software SPSS. Se obtuvo
los resultados que se muestran a continuación (tabla 2). Una aclaración es que en todos los casos se utilizó
como metodología para rotar los ejes la rotación Varimax.
Tabla 2: Resultado del ACP inicial
Comp
onent
Initial Eigenvalues
Extraction Sums of Squared
Loadings
Rotation Sums of Squared
Loadings
Total
% of
Variance
Cumulative
%
Total
% of
Variance
Cumulative %
Total
% of
Variance
Cumulative
%
1
2.816
23.469
23.469
2.816
23.469
23.469
2.298
19.150
19.150
2
2.447
20.393
43.862
2.447
20.393
43.862
2.155
17.961
37.111
3
1.753
14.608
58.470
1.753
14.608
58.470
2.070
17.251
54.362
4
1.500
12.502
70.971
1.500
12.502
70.971
1.649
13.742
68.103
5
1.056
8.801
79.773
1.056
8.801
79.773
1.400
11.669
79.773
6
.706
5.884
85.656
7
.491
4.095
89.752
8
.403
3.360
93.112
9
.344
2.868
95.979
10
.207
1.722
97.701
11
.177
1.472
99.173
12
.099
.827
100.000
Rotated Component Matrix
Component
1
2
3
4
5
AUTOS
.128
.152
.302
-.830
.174
EELECTCOMER
.040
.136
.898
-.048
-.037
EELECTIND
-.102
-.725
.170
.365
-.062
EELECTRES
-.389
-.151
.586
.016
.594
GASTOTAL
.138
.134
-.226
-.163
.856
HOTELMDZ
.017
-.110
.653
-.281
-.211
INDUSTRIA
.853
.082
-.086
.002
-.098
INMUEBLES
.849
.061
.199
.169
.109
PATVEHI
-.068
.890
-.053
-.043
.025
SHOPPING
.149
.855
.228
.107
.016
SUPERMERCADOS
.449
-.028
-.026
.823
-.017
VINO
.649
-.031
-.470
-.026
.460
Communalities
Initial
Extraction
AUTOS
1.000
.849
EELECTCOMER
1.000
.830
EELECTIND
1.000
.702
EELECTRES
1.000
.871
GASTOTAL
1.000
.848
HOTELMDZ
1.000
.562
INDUSTRIA
1.000
.751
INMUEBLES
1.000
.805
PATVEHI
1.000
.802
SHOPPING
1.000
.816
SUPERMERCADOS
1.000
.881
VINO
1.000
.856
Extraction Method: Principal Component Analysis.
Dado que estos resultados nos dejan cinco componentes principales, se dificultaría obtener un
índice único. El proceso que se fue haciendo implicó sacar algunas variables en base al peso que tuvieran
en los componentes principales, descartando las de menor peso relativo. También se usó como criterio el
número de observaciones disponibles para esa variable. Ya que no de todas se disponía de la misma
cantidad de observaciones, se priorizó mantener aquellas que tuvieran más. El resultado final de este
proceso de iteración es el que se muestra en la tabla 3.
Tabla 3: Resultado de ACP final
Component
Initial Eigenvalues
Extraction Sums of Squared
Loadings
Rotation Sums of Squared
Loadings
Total
% of
Variance
Cumulative
%
Total
% of
Variance
Cumulative
%
Total
% of
Variance
Cumulative
%
1
2.403
40.054
40.054
2.403
40.054
40.054
2.325
38.753
38.753
2
1.673
27.879
67.933
1.673
27.879
67.933
1.751
29.180
67.933
3
.881
14.689
82.622
4
.564
9.398
92.020
5
.368
6.132
98.152
6
.111
1.848
100.000
Rotated Component Matrix
Component
1
2
EELECTCOMER
.929
.052
EELECTRES
.908
.172
GASTOTAL
.126
.733
INMUEBLES
.038
.701
VINO
-.433
.761
HOTELMDZ
.657
-.333
Communalities
Initial
Extraction
EELECTCOMER
1.000
.866
EELECTRES
1.000
.855
GASTOTAL
1.000
.553
INMUEBLES
1.000
.492
VINO
1.000
.767
HOTELMDZ
1.000
.542
De acuerdo a estos resultados finales se usan seis variables representativas del nivel de actividad
mensual y se obtienen seis factores principales. De las seis variables EELECTCOMER, EELECTRES y
HOTELMDZ están muy representadas en el primer factor, en tanto que GASTOTAL, INMUEBLES y VINO lo
están en el segundo factor.
Dados estos dos factores obtenidos, cuyos histogramas están representados en el gráfico 7, se los
combina algebraicamente sumándolos, para así obtener el índice de actividad que se estaba buscando.
Ahora bien, para probar la validez del índice se lo va a comparar respecto al EMAE en el mismo
periodo de tiempo. Para que esta comparación tenga sentido lo que se hizo fue estandarizar el EMAE como
se muestra en la Tabla 4 y Gráfico 8 respectivamente
Gráfico 7: Histogramas de los factores
Tabla 4: Estadísticas descriptivas EMAE
N
Minimum
Maximum
Mean
Std. Deviation
emae2
120
114.90
168.90
142.5817
11.28243
Valid N (listwise)
120
Gráfico 8: Histograma EMAE
Luego de estandarizado el EMAE se lo contrasta gráficamente con respecto a ambos factores
(Gráfico 9) y con respecto al índice construido (Gráfico 10).
Gráfico 9: Contrastación entre los factores y el EMAE
Fuente: elaboración propia a partir de datos del INDEC
Gráfico 10: Contrastación ente el IAEMEN y el EMAE
Fuente: elaboración propia a partir de datos del INDEC
Como se puede observar en el Gráfico 11, sí hay una equivalencia en las variaciones de los niveles
de actividad a nivel nacional con respecto a lo que muestra el índice construido para Mendoza.
Adicionalmente se puede observar un aparente rezago del índice respecto del EMAE, para corroborar esto
se intentará ver si este rezago existe también entre el PBG de la provincia y el PBI nacional que serían los
-3
-2
-1
0
1
2
3
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97 101105109113117
factor1 factor2 Zemae
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97 101105109113117
Zemae indice
equivalentes de estas series, pero con periodicidad anual. Esto último se muestra en los gráficos 11 y 12
respectivamente.
Gráfico 11: Contrastación entre PBG y PBI
Gráfico 12: Variaciones porcentuales entre PBG y PBI
Fuente: elaboración propia a partir de datos del INDEC
Al analizar los resultados obtenidos, se puede concluir que a través del método de ACP se logró
crear un índice que representa la actividad económica de la provincia. Al comparar este índice respecto al
EMAE hay una equivalencia con algunos períodos de atraso, lo cual indicaría que las variaciones que se
0
20,000
40,000
60,000
80,000
100,000
120,000
140,000
160,000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839
pbi (millones del 93) pbg escalado
-20%
-15%
-10%
-5%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920212223242526272829303132333435363738
%pbg %pbi
producen a nivel nacional se transmiten luego a la provincia. Al momento de intentar contrastar esta
hipótesis haciendo uso del PBG y PBI, la misma pareciera no cumplirse. Se debe tener en cuenta que la
periodicidad es distinta en ambos casos ya que justamente el índice se crea porque no hay ninguna
estadística con esa periodicidad para la provincia. Para el caso del PBG y PBI ambas series tienen
variaciones que son bastante simultaneas. Quedaría como posible caso de estudio profundizar en el por
qué de este rezago al hacer el análisis mensual.
Finaliza aquí este último capítulo donde se desarrolló el índice que era objetivo del presente
trabajo, y en el cual se lograron captar los patrones de comportamiento propios de la economía local y su
relación con la actividad económica del país.
CONCLUSIONES
Para concluir el presente trabajo se expondrán algunas conclusiones sobre el tema y algunos
aspectos teóricos para resaltar. Un punto importante es la posibilidad de analizar la matriz de
correlaciones S de un cierto conjunto de variables y a partir de esta, determinar a priori si puede ser
potencialmente útil el ACP sin una pérdida de información significativa. Se supone que existen dos
variables iniciales, para un análisis gráfico simple. El primero de los casos que se puede dar es el de alta
correlación entre las variables. Entre más correlacionadas estén las variables, si se las graficara, la nube de
puntos formada se parecería más a una recta, por ende, menor sería el error de aproximar los datos a
dicha recta. Si, por ejemplo, la nube de puntos estuviera alrededor del eje X, es decir la recta tendría
pendiente igual a cero. En este caso lo que está pasando es que la variable Y tiene muy poca varianza. El
resultado del ACP para este caso va a ser que el subespacio principal va a ser el eje X, cuyo vector base es
. Esto quiere decir que el coeficiente que le se está asignando a los datos de la variable Y es cero,
se está eliminando esta variable. Este es el segundo caso de utilidad, cuando haya variables con varianza
muy bajas van a tener coeficientes muy cercanos a cero y
(en el caso extremo J es exactamente
igual a la varianza de Y, la perdida que existirá de información es la varianza de la variable que se está
eliminando). O sea que, observando la matriz S a priori se podría deducir que tanta pérdida de información
habría por reducir su dimensionalidad. Valores altos de correlaciones o valores bajos de varianzas
indicarían casos donde se podría aplicar ACP con muy poca pérdida de información.
Una visión alternativa para el uso del ACP sería como método de compresión de datos para ser
almacenados. Lo cual puede tener mucha utilidad para casos que, por la evolución de la tecnología, son
cada vez más comunes y donde la cantidad de datos es enorme. Se continua con el supuesto de dos series
iniciales (
). Inicialmente se tendrán dos series de N datos y el ACP dejará una sola serie de N
coordenadas. Si a esa serie de coordenadas la se la multiplica por el vector base da los N puntos que
nuevamente serán bidimensionales. Pero ahora todos sobre la recta que los ajusta, porque van a ser las
estimaciones de los valores iniciales. Visto para grandes cantidades de datos esto permitiría almacenarlos
solo con las series de coordenadas que tienen una dimensionalidad menor, en este caso la mitad, y la
matriz de coordenadas haría las veces de decodificador para volver a obtener la información inicial.
Otra conclusión teórica obtenida, y no poco importante, es que la componente principal obtenida
(la “nueva variable”) va a ser una combinación lineal de las variables iniciales. El valor que va a tener la
coordenada, que puede ser vista como una nueva variable Z va a ser los datos de cada par (X,Y) combinados
linealmente con los coeficientes que se definan en cada caso. Esto recordemos sale del resultado de la
coordenada para proyecciones ortogonales (
).
Respecto a la investigación del ACP como tema teórico, si bien representó un desafío mayor al
planteado inicialmente, debido a la falta de bibliografía en español y de un texto que desarrollara el tema
integralmente y en profundidad. Tuvo como resultado que el trabajo incorporara como objetivo compilar
el tema teórico, para luego poder interpretar con más claridad los resultados obtenidos al usar esta
metodología.
Por último, con respecto al objetivo práctico inicial del trabajo, que era construir un índice de
actividad para la provincia de Mendoza a partir de esta metodología que se puede considerar como
innovadora, o al menos como de uso poco frecuente en el ámbito de la Economía. Se puede decir que el
objetivo fue cumplido. El índice obtenido puede ser sujeto a un análisis en mayor profundidad para
determinar el por qué de su comportamiento. Al analizar los resultados obtenidos en el caso de estudio,
se observa que a través del método de Análisis por Componentes Principales, se logró crear un índice que
representa la actividad económica de la provincia. Al comparar gráficamente este índice respecto al
Estimador Mensual de Actividad Económica (EMAE) para Argentina, pareciera haber una equivalencia con
algunos periodos de atraso, lo cual indicaría a priori que las variaciones que se producen a Nivel Nacional
se transmiten luego a la Provincia de Mendoza. Al momento de intentar contrastar esta hipótesis haciendo
uso del Producto Bruto Geográfico de Mendoza y Producto Bruto Interno de Argentina, la misma pareciera
no cumplirse (teniendo en cuenta que la periodicidad es distinta en ambos casos ya que justamente el
índice se crea porque no hay ninguna estadística con esa periodicidad para la provincia) sino que son
bastante simultaneas las variaciones; esto podría deberse a la estacionalidad propia de los indicadores
mensuales. Queda la puerta abierta a mayores contrastaciones empíricas, que permitan evaluar la
robustez del índice estimado a través del Análisis Factorial por Componentes Principales.
BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA
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